Introducción
Arch-Tirado et al. (2025) mencionan que existen dos realidades durante la fase de sueño REM con base en el tiempo. Por un lado, el tiempo experimentado durante el sueño REM, que se caracteriza por durar unos segundos y se percibe en un tiempo más prolongado, y por otro, el tiempo real, esto es, cuando transcurren pocos segundos reales durante un sueño determinado y se experimenta que pasan minutos1.
El objetivo del presente trabajo es proponer un modelo matemático que sirva para medir estas dos realidades temporales simultáneamente.
Fundamento matemático
La velocidad se define como un cambio de posición con respecto al tiempo 
2. Su fórmula permite determinar la velocidad, el tiempo o la distancia recorrida al conocer la ubicación inicial y final de dos puntos en una línea de tiempo. Al utilizar los criterios de la primera y segunda derivada, se puede determinar la velocidad instantánea y la aceleración instantánea, a partir de una ecuación relacionada con el movimiento en función del tiempo.
Al convertir la fórmula de la velocidad en una función del tiempo tenemos:
Cálculo de la primera derivada
, en donde la distancia (d) es una constante y el tiempo (t) es la variable de la función, de esta manera la derivada de una constante es cero (δd = 0) y la derivada del tiempo (δt = 0), por lo que 
.
Cálculo de la segunda derivada
, en donde la derivada de t2 = 2t, de esta manera obtenemos la segunda derivada 
a partir de la primera derivada (velocidad instantánea) y la segunda derivada (aceleración instantánea)3.
Sustitución de valores
Sabemos que la estática es relativa, ya que mientras un cuerpo está en reposo en la tierra, realmente es sometido al movimiento de rotación y de traslación de la tierra, distancias constantes con base en un tiempo determinado (velocidad constante): la velocidad de rotación de la tierra es de 464 m/s, la cual tomaremos como valor basal en este modelo (Tabla 1).
Tabla 1. Comparación entre velocidad constante, velocidad instantánea y aceleración instantánea
| Tiempo transcurrido |  Velocidad constante |
 Velocidad instantánea |
 Aceleración instantánea |
|---|---|---|---|
| 1 segundo |  |
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| 2 segundos |  |
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| 3 segundos |  |
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| 4 segundos |  |
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| 5 segundos |  |
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En la tabla 1 se observa que la velocidad permanece constante durante la rotación de la tierra, sin embargo, al sustituir los valores en la primera derivada (velocidad instantánea) y en la segunda derivada (aceleración instantánea) se advierte una disminución con respecto al valor basal. Cabe mencionar que en el cálculo diferencial se analiza una función cuando esta es cada vez más pequeña, esto es, cuando tiende a cero la función en cuestión. En el sueño, las experiencias vividas son en fracción de segundos con respecto al tiempo real, es decir, también tienden a valores muy pequeños, de ahí la elongación del tiempo durante el sueño.
Es importante destacar que en las funciones en donde se mide la velocidad, si el signo permanece constante significa que el movimiento es acelerado, pero si existe un cambio de signo como el observado entre la velocidad instantánea y la aceleración, significa que hay un movimiento de retardo4 como el que ocurre durante el sueño.
Conclusiones
Con base en los resultados presentados en la tabla 1, es factible observar como la velocidad permanece constante a diferencia de los valores obtenidos en la primera y segunda derivada, en donde es posible advertir que la velocidad sufre una desaceleración.
Cuando los intervalos de tiempo van siendo cada vez más pequeños, la velocidad analizada es menor con respecto a la velocidad de referencia, por lo que esta herramienta puede ser de utilidad para estudiar el sueño, ya que la velocidad calculada en las diferenciales es menor, lo que en teoría implica más tiempo recorrido en un intervalo de tiempo exactamente igual, tal y como acontece en el sueño REM.
Debemos generar la función del sueño con base en el tiempo y a partir de ahí analizarlo con los criterios de la primera y segunda derivada.
Los resultados muestran la factibilidad de utilizar el cálculo diferencial para medir el tiempo transcurrido en el sueño paradójico, tras establecer la función del tiempo del sueño en fase REM, ya que al disminuir la velocidad instantánea y la aceleración con base en la velocidad de desplazamiento real, la experiencia del tiempo vivido es mayor. En este trabajo queda demostrada matemáticamente esta diferencia.
Financiamiento
Los autores declaran no haber recibido financiamiento para este estudio.
Conflicto de intereses
E. Arch-Tirado y M.Á. Collado-Corona forman parte del comité editorial de Anales Médicos. Los demás autores declaran no tener conflicto de intereses.
Consideraciones éticas
Protección de personas y animales. Los autores declaran que para esta investigación no se han realizado experimentos en seres humanos ni en animales.
Confidencialidad, consentimiento informado y aprobación ética. El estudio no involucra datos personales, historias clínicas ni muestras biológicas humanas, por lo que no requiere aprobación ética. No se aplican las guías SAGER.
Declaración sobre el uso de inteligencia artificial. Los autores declaran que no se utilizó ningún tipo de inteligencia artificial generativa para la redacción ni la creación de contenido de este manuscrito.
